TEORIA DE COLAS

3 UNIDAD

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio, generan en el tiempo una cola (fuente de entrada), estos clientes que entran al sistema y se unen a una cola, en un determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante algunas regla conocida como disciplina de servicio, la mas utilizada es FIFO. (primero en llegar, primero en ser atendido)

CASOS                                        PROCESO DE ENTRADA                          PROCESO DE SALIDA

BANCO                                        Los clientes llegan al banco                           Los cajeros atienden al                                                                                                                                 cliente   

PIZZERIA                                    Recibe pedidos                                              Reparto delivery

BANCO DE
SANGRE                                     Llegada de la bolsa de sangre                         Los donantes depositan su
                                                                                                                          sangre en las bolsas.

AEROPUERTO                           Los pasajeros llegan al aeropuerto                  Los pasajeros se
                                                                                                                          embarcan en los aeropuets

FUENTE DE ENTRADA 

Una característica principal de la fuente de entrada es su tamaño, el numero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, las unidades que llegan se conocen como población de entrada. pueden ser mas sencillos que para el caso infinito, esta suposición se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un numero fijo relativamente grande.

MECANISMO DE SERVICIO

Consiste en una o mas instalaciones de servicio cada una de ellas con uno o mas canales de servicios paralelos, llamados servidores. En un instante el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio, el tiempo que transcurre desde el inicio hasta su terminación se llama tiempo de servicio. Un modelo de colas de un sistema se debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución del tiempo de servicio que mas se usa es la distribución exponencial. 

Por conveniente estos modelos se etiquetan 

________________________ , ____________________________ ,___________________________

Dist. tiempo entre llegada            Dist. tiempo de servicio                  Numero de servidores

Donde 

 M  distribución exponencial 

 D  Distribución degenerada

 E  Distribución Erlang

G   Distribución general

  

Ejemplo 

M/M/1

M/M/2

M/E/1

MODELO DE COLAS  DE UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL M/M/1

                                              = # promedio de clientes que llegan

                                               = tiempo de servicio

En esta sección se presenta un método analítico para determinar las medidas de desempeño mas importantes en sistema de servicio, las suposiciones son las siguientes 

1. Las llegadas se atienden sobre una base FIFO.
2. Cada llegada espera ser atendido.
3. Las llegadas son independientes, el numero promedio no cambia al largo del tiempo
4. Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de poisson y provienen de una población infinita o muy grande.
5. Los tiempos de servicio también varían de un cliente al siguiente y son independientes entre si, pero se conoce su tasa promedio.
6. Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidad exponencial negativa.
7. La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegada promedio.

ECUACIONES:

                            = numero medio de llegada por pedido
                           = numero medio de personas que se atienden por periodo

1.  # promedio de clientes en el sistema L

                                                                      

     2. tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema W

 

3.  # promedio de clientes en la cola Lq

          4. tiempo promedio que n cliente pasa esperando en la cola Wq

           5. Factor de utilización del sistema p

           6. Porcentaje de tiempo ocioso Po

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pm

EJEMPLO 

1. A  un autoservicio llegan 25 clientes por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30  clientes por hora. Calcular 

a ) Probabilidad de que el sistema este usado.

b) Probabilidad de que el sistema este ocioso

c) Probabilidad de que haya 2 clientes en el sistema

d) Tiempo promedio que un cliente espera en la cola

SOLUCION 

 = 25 clientes por hora 

 = 30 clientes por hora 

a)

   =  25/30 = 0.83

b)

  =1-25/30 = 0.17

c)

 = (1-25/30)(25/30)^2 = 0.1157

d)

=25/30 (30-25) = 0.17 x 60 = 10 min 

MODELOS DE COLAS SIMPLES CON SERVIDORES MULTIPLES M/M/m

Un sistema de colas de canales multiples, donde 20 mas servidoresse encuentran disponibles para atenbder a los clientes que llegan. Se supone que los clientes esperan el servicio en una sola fila y luego se dirigen, un ejemplo de ese teimpo de linea de espera lo encontramos en los bancos.

SUPUESTOS 

1. Una población de clientes infinita
2. El proceso de llegada de los clientes es de acuerdo a la distribución de poisson, con una tasaaaa promedio de        clientes por unidad de tiempo.
3. El proceso de cola consiste en una sola linea de espera de la capacidad infinita, con una disciplina de cola fifo 
4. El proceso de servicio consiste en C servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribucion exponencial con una cantidad promedio de u clientes por unidad de tiempo.

Para que un sistema de colas simple con servicios múltiples alcancen una condición estable , la tasa total promedio de servicios debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegada.

ECUACIONES:

1. La probabilidad de que haya 0 clientes en ele sistema (Po)

2. Numero promedio de clientes que se encuentran en la línea de espera( Lq)

 3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

 4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)

5. Numero promedio de clientes en el sistema(L)

6.Probabilidad de que haya "n" clientes en el sistema (Pn)

                   si "n" es menor o igual que C

             si "n" es mayor o igual que C

7. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar(Pw)