ESTUDIANTES DE ESTADISTICA Silva Carrasco, Rivas Montejo

SEGUNDA UNIDAD:

TEORÍA DE INVENTARIOS

Para cumplir con la demanda de una empresa, el objetivo de la teoría de inventario es determinar las reglas que pueden explicar a la gerencia para reducir al mínimo los costos, relacionados con el mantenimiento de existencias y cumplir con la demanda del consumidos. Los modelos de inventario responden a las siguientes preguntas:

- ¿Que cantidad se debe pedir?

- ¿Cuanto pedir?

Algunos de los costos más significativos del inventario son:

1.- Costos por compra

2.- Costos por ordenar

3.- Costo por mantener o almacenar inventario.

4.- Costo por faltante

> Cantidad de lote económico: "E O Q"

Para el modelo E o Q básico, los únicos costos considerados son:

K= Costo de preparación

Para producir un lote

C = costo de producir o comprar por unidad.

h= Cotos por mantener inventario por unidad

D= Demanda

Q= Cantidad a pedir

- Longitud de ciclo : Q/d

- Costo por producir u ordenar: K + CQ

- Costo de mantener el inventario por ciclo: hQ^2/2d

- Costo total por ciclo: K + CQ + hQ^2/2d

- Costo total por unidad de tiempo: T = C+QC+ hQ^2/2d /Q/d

- Cantidad optima del pedido: Q^2 = 2dK/h

EJEMPLO
Una compania vende bombas, requiere reducir su costo de inventario, determinando el n optimo de bombas que debe obtener por orden la demanda anual es de 1000 unidades , el costo por ordenar es de 10 dolares y el costo anual promedio por almacenar por unidad es de h 0.50 centavos de dolar .
Hallar la cantidad de optima de unidades a ordenar

Q^2 = 2dK/h

= 2*1000*10/0.50

Q* = 200 unidades.

Cual es el Costo total anual del inventario?

T = C+QC+ hQ^2/2d /Q/d
1000*10/200 + 0.50*200/2
T = 100 dolares

Cual es el numero de pedidos al anio?

D/Q* = 1000/200 = 5 pedidos al anio.

MODELO E O Q CON FALTANTE

Uno de los inconvenientes en la administración de cualquier sistema de inventarios llamadas también ordenes pendientes. La demanda que no se satisface debido a que la demanda se agote. Los faltantes no planeados pueden ocurrir si la taza de demanda y las entregas no se ajustan a lo programado, sin embargo existen situaciones ilimitables en las que se permiten faltantes planeados en el cual tiene sentido desde el punto de visita administrativo.

El modelo EOQ con faltante planeado toma en cuenta este tipo de situación. Como se observa en el gráfico los niveles de inventario se extienden a valores negativos, que reflejan el numero de unidad del producto que faltaron o están pendiente de entrega.
Para determinar el punto de reorden (PRO), se debe tener en cuenta la siguiente ecuación donde:

L= es el tiempo de demora en días.

Ejemplo:
Si la demanda diaria de un producto es 40 unidades y el tiempo que demora en ser abastecido es 3 días, entonces se debe hacer un nuevo pedido, cuando en el almacén hallan 120 unidades.
L= 3 días
d= 40 unidades x día
PRO=40x3=120 unidades

sea:
P= Costo por faltante
S= Nivel de Inventario
Q-S= Faltantes en el inventario justo antes de recibir un nuevo lote.

Costo de producción u ordenar: K+ CQ

Costo de mantener un inventario por ciclo: h(S^2)/2d

Cantidad promedio por faltante: Q-S/2

Costo total por unidad de tiempo: T= dk/Q + dc +h(S^2)/2d +p(Q-S)^2/2Q

donde:

Q*= $\sqrt{2dk/h}*\sqrt{p+h/p}$

S*= $\sqrt{2dk/h}*\sqrt{p/p+h}$

INVENTARIO DE SEGURIDAD PROBABILISTICO

El punto de re-orden es la cantidad que se usaría durante el tiempo de entrega. Sin embargo cuando hay incertidumbre en la demanda diaria o tiempo de entrega, el uso del inventario promedio durante el tiempo de entrega debería calcularse para agregar el inventario de seguridad y evitar los faltantes.

PRO = Demanda promedio en el tiempo de entrega + Inventario de seguridad

Esta ecuación proporciona la formula general para determinar el punto de re-orden cuando la demanda en el tiempo de entrega (LT) tiene una distribución normal, el punto de re-orden se convierte en

PRO = DPEE+ Zrdlt

3 UNIDAD

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio, generan en el tiempo una cola (fuente de entrada), estos clientes que entran al sistema y se unen a una cola, en un determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante algunas regla conocida como disciplina de servicio, la mas utilizada es FIFO. (primero en llegar, primero en ser atendido)

CASOS PROCESO DE ENTRADA PROCESO DE SALIDA

BANCO Los clientes llegan al banco Los cajeros atienden al cliente

PIZZERIA Recibe pedidos Reparto delivery

BANCO DE
SANGRE Llegada de la bolsa de sangre Los donantes depositan su
sangre en las bolsas.

AEROPUERTO Los pasajeros llegan al aeropuerto Los pasajeros se
embarcan en los aeropuets

FUENTE DE ENTRADA

Una característica principal de la fuente de entrada es su tamaño, el numero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, las unidades que llegan se conocen como población de entrada. pueden ser mas sencillos que para el caso infinito, esta suposición se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un numero fijo relativamente grande.

MECANISMO DE SERVICIO

Consiste en una o mas instalaciones de servicio cada una de ellas con uno o mas canales de servicios paralelos, llamados servidores. En un instante el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio, el tiempo que transcurre desde el inicio hasta su terminación se llama tiempo de servicio. Un modelo de colas de un sistema se debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución del tiempo de servicio que mas se usa es la distribución exponencial.

Por conveniente estos modelos se etiquetan

________________________ , ____________________________ ,___________________________

Dist. tiempo entre llegada Dist. tiempo de servicio Numero de servidores

Donde

M distribución exponencial

D Distribución degenerada

E Distribución Erlang

G Distribución general

Ejemplo

M/M/1

M/M/2

M/E/1

MODELO DE COLAS DE UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL M/M/1

$\LARGE \lambda$ = # promedio de clientes que llegan

$\LARGE \mu$ = tiempo de servicio

En esta sección se presenta un método analítico para determinar las medidas de desempeño mas importantes en sistema de servicio, las suposiciones son las siguientes

Las llegadas se atienden sobre una base FIFO.
Cada llegada espera ser atendido.
Las llegadas son independientes, el numero promedio no cambia al largo del tiempo
Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de poisson y provienen de una población infinita o muy grande.
Los tiempos de servicio también varían de un cliente al siguiente y son independientes entre si, pero se conoce su tasa promedio.
Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidad exponencial negativa.
La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegada promedio.

ECUACIONES:

$\LARGE \lambda$ = numero medio de llegada por pedido
$\LARGE \mu$ = numero medio de personas que se atienden por periodo

# promedio de clientes en el sistema L

$\LARGE \frac{\lambda}{\mu -\lambda}$

2. tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema W

$\LARGE \frac{1}{\mu -\lambda}$

3. # promedio de clientes en la cola Lq

$\LARGE {\lambda^2}/{\mu}{(\mu -\lambda)}$

4. tiempo promedio que n cliente pasa esperando en la cola Wq

$\LARGE {\lambda}/{\mu}{(\mu -\lambda)}$

5. Factor de utilización del sistema p

$\LARGE \frac{\lambda}{\mu}$

6. Porcentaje de tiempo ocioso Po

$\LARGE 1-\frac{\lambda}{\mu}$

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pm

$\LARGE (1-\frac{\lambda}{\mu})(\frac{\lambda}{\mu})^n$

EJEMPLO

1. A un autoservicio llegan 25 clientes por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 clientes por hora. Calcular

a ) Probabilidad de que el sistema este usado.

b) Probabilidad de que el sistema este ocioso

c) Probabilidad de que haya 2 clientes en el sistema

d) Tiempo promedio que un cliente espera en la cola

SOLUCION

$\LARGE \lambda$ = 25 clientes por hora

$\LARGE \mu$ = 30 clientes por hora

$\LARGE \frac{\lambda}{\mu}$ = 25/30 = 0.83

$\LARGE 1-\frac{\lambda}{\mu}$ =1-25/30 = 0.17

$\LARGE (1-\frac{\lambda}{\mu})(\frac{\lambda}{\mu})^n$ = (1-25/30)(25/30)^2 = 0.1157

$\LARGE {\lambda}/{\mu}{(\mu -\lambda)}$ =25/30 (30-25) = 0.17 x 60 = 10 min

MODELOS DE COLAS SIMPLES CON SERVIDORES MULTIPLES M/M/m

Un sistema de colas de canales multiples, donde 20 mas servidoresse encuentran disponibles para atenbder a los clientes que llegan. Se supone que los clientes esperan el servicio en una sola fila y luego se dirigen, un ejemplo de ese teimpo de linea de espera lo encontramos en los bancos.

SUPUESTOS

Una población de clientes infinita
El proceso de llegada de los clientes es de acuerdo a la distribución de poisson, con una tasaaaa promedio de clientes por unidad de tiempo.
El proceso de cola consiste en una sola linea de espera de la capacidad infinita, con una disciplina de cola fifo
El proceso de servicio consiste en C servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribucion exponencial con una cantidad promedio de u clientes por unidad de tiempo.

Para que un sistema de colas simple con servicios múltiples alcancen una condición estable , la tasa total promedio de servicios debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegada.

ECUACIONES:

1. La probabilidad de que haya 0 clientes en ele sistema (Po)

$\LARGE 1/ \sum_{n=0}^{c-1}(\frac{\1}{n!})(\frac{\lambda}{\mu})^n + (\frac{\1}{c!})(\frac{\lambda}{\mu})^c ({c\mu}/{c\mu}-{\lambda})$