SEGUNDA UNIDAD: 

TEORÍA DE INVENTARIOS 

Para cumplir con la demanda de una empresa, el objetivo de la teoría de inventario es determinar las reglas que pueden explicar a la gerencia para reducir al mínimo los costos, relacionados con el mantenimiento de existencias y cumplir con la demanda del consumidos. Los modelos de inventario responden a las siguientes preguntas: 

- ¿Que cantidad se debe pedir?

- ¿Cuanto pedir?

Algunos de los costos más significativos del inventario son:

1.- Costos por compra

2.- Costos por ordenar

3.- Costo por mantener o almacenar inventario.

4.- Costo por faltante

> Cantidad de lote económico: "E O Q"

Para el modelo E o Q básico, los únicos costos considerados son:

  K= Costo de preparación

Para producir un lote 

  C = costo de producir o comprar por unidad.

  h= Cotos por mantener inventario por unidad

  D= Demanda 

  Q= Cantidad a pedir

- Longitud de ciclo : Q/d

- Costo por producir u ordenar: K + CQ

- Costo de mantener el inventario por ciclo: hQ^2/2d

- Costo total por ciclo: K + CQ + hQ^2/2d

- Costo total por unidad de tiempo: T = C+QC+ hQ^2/2d /Q/d

- Cantidad optima del pedido: Q^2 = 2dK/h

EJEMPLO 
Una compania vende bombas, requiere reducir su costo de inventario, determinando el n optimo de bombas que debe obtener por orden la demanda anual es de 1000 unidades , el costo por ordenar es de 10 dolares y el costo anual promedio por almacenar por unidad es de h 0.50 centavos de dolar . 
Hallar la cantidad de optima de unidades a ordenar

Q^2 = 2dK/h

        = 2*1000*10/0.50 

Q* = 200 unidades.

Cual es el Costo total anual del inventario?

T = C+QC+ hQ^2/2d /Q/d
       1000*10/200 + 0.50*200/2
 T = 100 dolares

Cual es el numero de pedidos al anio?

D/Q* = 1000/200 = 5 pedidos al anio.  

MODELO E O Q CON FALTANTE

Uno de los inconvenientes en la administración de cualquier sistema de inventarios llamadas también ordenes pendientes. La demanda que no se satisface debido a que la demanda se agote. Los faltantes no planeados pueden ocurrir si la taza de demanda y las entregas no se ajustan a lo programado, sin embargo existen situaciones ilimitables en las que se permiten faltantes planeados en el cual tiene sentido desde el punto de visita administrativo.

El modelo EOQ con faltante planeado toma en cuenta este tipo de situación. Como se observa en el gráfico los niveles de inventario se extienden a valores negativos, que reflejan el numero de unidad del producto que faltaron o están pendiente de entrega.
Para determinar el punto de reorden (PRO), se debe tener en cuenta la siguiente ecuación donde:

L= es el tiempo de demora en días.

Ejemplo:
Si la demanda diaria de un producto es 40 unidades y el tiempo que demora en ser abastecido es 3 días, entonces se debe hacer un nuevo pedido, cuando en el almacén hallan 120 unidades.
L= 3 días
d= 40 unidades x día
PRO=40x3=120 unidades

sea:
P= Costo por faltante
S= Nivel de Inventario
Q-S= Faltantes en el inventario justo antes de recibir un nuevo lote.

• Costo de producción u ordenar: K+ CQ
• Costo de mantener un inventario por ciclo: h(S^2)/2d
• Cantidad promedio por faltante: Q-S/2
• Costo total por unidad de tiempo: T= dk/Q + dc +h(S^2)/2d +p(Q-S)^2/2Q
• donde:

Q*=

S*=












INVENTARIO DE SEGURIDAD PROBABILISTICO


El punto de re-orden es la cantidad que se usaría durante el tiempo de entrega. Sin embargo cuando hay incertidumbre en la demanda diaria o tiempo de entrega, el uso del inventario promedio durante el tiempo de entrega debería calcularse para agregar el inventario de seguridad y evitar los faltantes.


PRO  = Demanda promedio en el tiempo de entrega + Inventario de seguridad


Esta ecuación proporciona la formula general para determinar el punto de re-orden cuando la demanda en el tiempo de entrega (LT) tiene una distribución normal, el punto de re-orden se convierte en 

PRO = DPEE+ Zrdlt











                                

 

                
                                      

TEORIA DE COLAS

3 UNIDAD

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio, generan en el tiempo una cola (fuente de entrada), estos clientes que entran al sistema y se unen a una cola, en un determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio, mediante algunas regla conocida como disciplina de servicio, la mas utilizada es FIFO. (primero en llegar, primero en ser atendido)

CASOS                                        PROCESO DE ENTRADA                          PROCESO DE SALIDA

BANCO                                        Los clientes llegan al banco                           Los cajeros atienden al                                                                                                                                 cliente   

PIZZERIA                                    Recibe pedidos                                              Reparto delivery

BANCO DE
SANGRE                                     Llegada de la bolsa de sangre                         Los donantes depositan su
                                                                                                                          sangre en las bolsas.

AEROPUERTO                           Los pasajeros llegan al aeropuerto                  Los pasajeros se
                                                                                                                          embarcan en los aeropuets

FUENTE DE ENTRADA 

Una característica principal de la fuente de entrada es su tamaño, el numero total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, las unidades que llegan se conocen como población de entrada. pueden ser mas sencillos que para el caso infinito, esta suposición se hace a menudo aun cuando el tamaño real sea un numero fijo relativamente grande.

MECANISMO DE SERVICIO

Consiste en una o mas instalaciones de servicio cada una de ellas con uno o mas canales de servicios paralelos, llamados servidores. En un instante el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio, el tiempo que transcurre desde el inicio hasta su terminación se llama tiempo de servicio. Un modelo de colas de un sistema se debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución del tiempo de servicio que mas se usa es la distribución exponencial. 

Por conveniente estos modelos se etiquetan 

________________________ , ____________________________ ,___________________________

Dist. tiempo entre llegada            Dist. tiempo de servicio                  Numero de servidores

Donde 

 M  distribución exponencial 

 D  Distribución degenerada

 E  Distribución Erlang

G   Distribución general

  

Ejemplo 

M/M/1

M/M/2

M/E/1

MODELO DE COLAS  DE UN SOLO SERVIDOR CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL M/M/1

                                              = # promedio de clientes que llegan

                                               = tiempo de servicio

En esta sección se presenta un método analítico para determinar las medidas de desempeño mas importantes en sistema de servicio, las suposiciones son las siguientes 

1. Las llegadas se atienden sobre una base FIFO.
2. Cada llegada espera ser atendido.
3. Las llegadas son independientes, el numero promedio no cambia al largo del tiempo
4. Las llegadas se describen con una distribución de probabilidad de poisson y provienen de una población infinita o muy grande.
5. Los tiempos de servicio también varían de un cliente al siguiente y son independientes entre si, pero se conoce su tasa promedio.
6. Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidad exponencial negativa.
7. La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegada promedio.

ECUACIONES:

                            = numero medio de llegada por pedido
                           = numero medio de personas que se atienden por periodo

1.  # promedio de clientes en el sistema L

                                                                      

     2. tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema W

 

3.  # promedio de clientes en la cola Lq

          4. tiempo promedio que n cliente pasa esperando en la cola Wq

           5. Factor de utilización del sistema p

           6. Porcentaje de tiempo ocioso Po

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pm

EJEMPLO 

1. A  un autoservicio llegan 25 clientes por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30  clientes por hora. Calcular 

a ) Probabilidad de que el sistema este usado.

b) Probabilidad de que el sistema este ocioso

c) Probabilidad de que haya 2 clientes en el sistema

d) Tiempo promedio que un cliente espera en la cola

SOLUCION 

 = 25 clientes por hora 

 = 30 clientes por hora 

a)

   =  25/30 = 0.83

b)

  =1-25/30 = 0.17

c)

 = (1-25/30)(25/30)^2 = 0.1157

d)

=25/30 (30-25) = 0.17 x 60 = 10 min 

MODELOS DE COLAS SIMPLES CON SERVIDORES MULTIPLES M/M/m

Un sistema de colas de canales multiples, donde 20 mas servidoresse encuentran disponibles para atenbder a los clientes que llegan. Se supone que los clientes esperan el servicio en una sola fila y luego se dirigen, un ejemplo de ese teimpo de linea de espera lo encontramos en los bancos.

SUPUESTOS 

1. Una población de clientes infinita
2. El proceso de llegada de los clientes es de acuerdo a la distribución de poisson, con una tasaaaa promedio de        clientes por unidad de tiempo.
3. El proceso de cola consiste en una sola linea de espera de la capacidad infinita, con una disciplina de cola fifo 
4. El proceso de servicio consiste en C servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribucion exponencial con una cantidad promedio de u clientes por unidad de tiempo.

Para que un sistema de colas simple con servicios múltiples alcancen una condición estable , la tasa total promedio de servicios debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegada.

ECUACIONES:

1. La probabilidad de que haya 0 clientes en ele sistema (Po)

2. Numero promedio de clientes que se encuentran en la línea de espera( Lq)

 3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

 4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)

5. Numero promedio de clientes en el sistema(L)

6.Probabilidad de que haya "n" clientes en el sistema (Pn)

                   si "n" es menor o igual que C

             si "n" es mayor o igual que C

7. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar(Pw)

PRIMERA UNIDAD

TEMA:01

          

                  PROBLEMA DEL CAMINO MAS CORTO

Se refiere a una red en la cual cada arco (i,j) tiene asociado un número -->Cij, el cual se intercepta como la distancia, costo o tiempo desde el nodo i hasta el nodo j. Un camino entre 2 nodos es cualquier secuencia de arcos que conecten.

El objeto consiste en encontrar el camino más corto o de menor costo desde un nodo específico hasta cada uno de los demás nodos.

ALGORITMO DE LA RUTA MAS CORTA:

1. El objetivo de la n-sima interacción es encontrar el n-sino nodo más cercano al origen.

2. Para la n-sima interacción n-1 nodos más cercanos al origen(encontrados, en las interacciones previas, incluida la ruta más corta y la distancia desde el origen.

3. Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con 1 ó más nodos no resueltos proporcionan candidatos adicionales)

4. Para cada nodo resuelto y de sus candidatos se suman las distancias entre ellas y la distancia de la ruta mas corta desde el origen a ese nodo no resuelto.

El  candidato con la distancia total mas pequeña, es el n-ésimo nodo más cercano.

TEMA 02 : 

PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO

Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a traves de una red de arcos, que tienen una capacidad de flujo máximo admisible.

- Caracteristicas: 

1) Todo flujo a traves de una red conexa dirigida. Se origina en un nodo llamado fuente y termina en otro nodo llamado destino. 

2) Los nodos restantes se les llama nodo de transbordo.

3) Se permite el flujo a traves de un arco, solo en la direccion indicada por la flecha donde la cantidad maxima de flujo esta dada por la capacidad del arco.

En la fuente todos los arcos señalan habia afuera y en el destino todos los arcos señalan hacia el norte.

4) El objeivo e maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino.

Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es la cantidad que sale de la fuente la cantidad que entra al destino. 

Flujo: 

Es la circulacion de unidades homogeneas de algun producto o sustancia que atraviesa una suerficie en una unidad de tiempo.

Capacidad de flujo:

Es la cantidad maxima de flujo que puede ingresar por el nodo fuente y salir por el nodo destino.

• USO DEL ALGORITMO DE FLUJO MAXIMO
  Este algoritmo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino de una red, por ejemplo:
                                                 > Sistema de vía publica
                                                 > Transporte de petroleo
                                                 > Distribucion de energia electrica

TEMA:03

                            ÁRBOL DE EXPANSIÓN MINIMA








Esta técnica implica conectar todos los puntos de una red, al tiempo que minimiza la distancia entre ellos, tiene gran aplicación en las compañías telefónicas, para conectar entre sí varias ciudades, minimizando longitud total del cable. Para su solución se emplean los algoritmos de PRIM ó KRUSKAL.

ALGORITMO DE PRIM:

1. Seleccione inicialmente, cualquier nodo y conectar con el más próximo, que contenga el arco de menor costo.

2. Completar la red interactivamente, identificando el nodo no conectado que este más cercano ó de menor costo.

3. Agregar a este nodo el conjunto de nodos conectados. En caso de empate, este se rompe en forma arbitraria.

4. En cada etapa del proceso interactivo, la atención se centra en aquellos nodos que ya se han ensamblado. Repetir este paso hasta que se hagan conectando todos los nodos.

ALGORITMO DE KRUSKAL:

1.Comienze seleccionando el arco de menor longitud.

2.En cada interacción agregue el siguiente arco de menor longitud del conjuto de arcos disponibles, teniendo la precaución de no formar ningún ciclo.

3. El algoritmo finalizará, cuando todos los arcos estén conectados.
Si  N= n° de nodos, entonces la solución óptima, debe incluir n-1 arcos.



TEMA:04

                                      PERT Y CPM

Los modelos de redes se pueden usar como ayuda en la programación de proyectos complejos, que incluyan muchas actividades. Si se conoce con certeza la duración de cada actividad en el proyecto, sin retrasar la terminación del proyecto.

Si no se conoce con certeza la duración de las actividades, se puede utilizar la técnica de evaluación y revisión de proyectos(PERT), para estimar la probabilidad de que se termine el proyecto en la fecha limite.

El PERT Y CPM tuvieron sus orígenes en los años 50, ambos son métodos, que llevan a la determinación de un programa de tiempo, ya que estos dos algoritmos, fueron desarrollados con el mismo fin, controlar las dos variables más importantes en el desarrollo de cualquier proyecto, tiempo y recursos.

Existen 6 pasos comunes, para ambos PERT Y CPM. El procedimiento es el siguiente:

1. Definir el proyecto y todas sus actividades.

2. Desarrollar la relación entre las actividades. Decidir que actividad debe preceder a otras.

3. Dibujar la red que conecta todas las actividades.

4. Asignar estimaciones de tiempo de cada actividad.

5. Calcular la trayectoria con el tiempo más largo a través de la red, llamada ruta crítica

6. Usar la red para ayudar a planear, programar, supervisar y controlar el proyecto.